PHIL 1423
Introduction à la logique

Quelques équivalences utiles (et nécessaires) pour bien appliquer la méthode ramifiée de Smullyan

 

Nous avons repéré les équivalences suivantes, très utiles dans le contexte de la méthode de Smullyan, voire même nécessaires afin de décomposer les énoncés complexes dont le foncteur principal n'est ni & ni v:
 
 

X		X
(X  Y)		( X  v  Y)
(X  Y)		[(X  Y) & (Y  X)]
(X  Y)		[(X & Y) v ( X &  Y)]
(X v Y)		[(X v Y) &  (X & Y)]
(X  Y)		[ (X &  Y)]
(X  Y)		(X &  Y)
(X &Y)		( X v  Y)
(X v Y)		( X &  Y)
(X  Y)		(X v Y)

 
Révision de la méthode ramifiée de Smullyan (suite)

Voir la description de cette méthode expliquée dans les points saillants de la séance du 8 mars .

Cette méthode peut s'appliquer également à un énoncé seul et permet -- si l'énoncé en question n'est pas une contradiction -- de le « traduire » en un énoncé où ne figurent que les foncteurs &, v, et  .

En faisant un arbre pour l'énoncé«[(P &Q)  R]  P », par exemple, on découvre qu'il n'y a que deux embranchements qui ne se ferment pas : un embranchement oùl'on trouve  Q et P et un autre embranchement oùl'on trouve R et P comme éléments de décomposition. On en conclut qu'il y a deux situations où«[(P &Q)  R]  P »peut être vrai :
 

1. Q est faux et P est vrai,  ou
2. R et P sont vrais.


Il s'ensuit de là que « [(P & Q)  R]  P » est équivalent à « ( Q & P) v (R & P) » ou, ce qui revient au même, « (P &  Q) v (P & R) ».

On peut construire une table de vérité pour confirmer l'exactitude de ce résultat, comme nous l'avons fait d'ailleurs en classe.

 

Pour de plus amples explications, on peut se référer à ses notes de cours.

 
«(P &  Q) v (P &R) »est ce que l'on appelle la forme normale disjonctivede
«[(P &Q)  R]  P ». Ce terme sera défini de manière plus explicite àla prochaine séance.

Les détails suivants (en caractères violets) sont fournis par anticipation (n'ayant pas été présentés à la séance du 15 mars):

La forme normale disjonctive de « [(P & Q)  R]  P » que l'on vient de donner n'est pas la forme pleine, mais bien ce que nous appellerons la forme minimale.
 

Nous dirons forme normale disjonctive pleine et forme normale disjonctive minimale .


La forme pleine de  « (P &  Q) v (P & R) » est obtenue de la manière suivante :
 

1. « (P &  Q) v (P & R) » devient, par expansion de « (P &  Q) »
2. « (P &  Q & R) v (P &  Q &  R) v (P & R) » qui devient, à son tour, par expansion de « (P & R) »
3. « (P &  Q & R) v (P &  Q &  R) v (P & Q & R) v (P &  Q & R) » qui contient deux fois le membre de disjonction « (P &  Q & R) » (au début et à la fin), ce qui nous permet d'écrire (en vertu du fait que, pour tout énoncé «X», «XvX» et «X» sont équivalents) :
4. « (P &  Q & R) v (P &  Q &  R) v (P & Q & R) »


Nous voyons que la méthode de Smullyan nous donne une recette permettant de trouver assez rapidement la forme normale disjonctive de n'importe quel énoncé non contradictoire.   Mais il s'agit de la forme normale disjonctive minimale, non pas de la forme normale disjonctive pleine.
 
 

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L'exercice n^o 17 -- qui consiste à appliquer la méthode de Smullyan à deux raisonnements de l'exercice 16 auxquels on ne l'a pas déjà appliqué -- est à soumettre mardi.




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