Taylor series
A Taylor series is a representation of a function expressed as a potentially infinite sum of powers of its variable, where each term is obtained by calculating either the value of a function as a given point or one of its derivatives. If the point chosen is 0, it is called a MacLaurin series. One can often obtain a good approximation of a function in a neighbourhood of a point using only a few terms.
For example, the graph below gives an approximation using the first terms for a function from its value at the origin as well as those of its various derivatives.
Séries de taylor
Les séries de Taylor sont des représentation d'une fonction exprimées par une somme (possiblement infinie) de puissance de la variable, où chaque terme est obtenu soit de la valeur de la fonction en un point ou de ses dérivées successives en ce même point. Si le point choisi est zéro, on dit que c'est une série de MacLaurin. On peut souvent obtenir une bonne approximation au voisinage d'un point en ne retenant que quelques termes.
Par exemple, le graphique ci-dessous donne une approximation pour les premiers termes de la fonction évaluée près de l'origine.
$$\cos(x)\approx \sum_{n=1}^\cssId{cos-max-index}{5} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n}}{(2n)!} = \class{tex-term1}{1} \class{tex-term2}{-\frac{x^2}{2}} \class{tex-term3}{+\frac{x^4}{24} } \class{tex-term4}{-\frac{x^6}{720}} \class{tex-term5}{+\ldots} $$
$$\frac{1}{1-x}\approx \sum_{n=0}^\cssId{inv-max-index}{5} x^{n} = \class{tex-term1}{1} \class{tex-term2}{+x} \class{tex-term3}{+x^2 } \class{tex-term4}{+x^3} \class{tex-term5}{+\ldots} $$
Note that the radius of convergence for the expansion of \(\displaystyle\frac{1}{1-x}\) is \(|x| \lt 1\).
Notez que le rayon de convergence pour l'expansion de \(\displaystyle\frac{1}{1-x}\) est \(|x| \lt 1\).